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Commit e4126803 authored by koenigl's avatar koenigl
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......@@ -1455,7 +1455,113 @@ den Rückkopplungskoeffizienten bestimmen können. Abschließend werden wir uns
mit der Auswahlfunktion beschäftigen, und welche Angriffe es darauf gibt.
\paragraph{Algebraische Beschreibung des Schlüsselstroms}
Wir werden nun versuchen den generierten Schlüsselstrom über eine
polynomielle Rekursionsgleichung zu beschreiben.
Sei dafür ein LFSR über seine Rückkopplungskoeffizienten \((a_0,\dotsc,a_{n-1})\)
gegeben, welches unsere Rekursionsgleichung erfüllt:
\[
k_t := a_0 k_{t-n} \xor \dotsb \xor a_{n-1} k_{t-1}
\]
Wir möchten nun ein \(\alpha\) finden, sodass wir alternativ den Schlüsselstrom
also \(k_t=\alpha^t\) für \(t\in\mathbb{N}\) beschreiben können.
Ein solches \(\alpha\) müsste somit die Rekursionsgleichung erfüllen, also
\begin{align*}
k_t &= a_0 k_{t-n} \xor \dotsb \xor a_{n-1} k_{t-1} && \mid k_t = \alpha^t \\
\alpha^t &= a_0 \alpha^{t-n} \xor \dotsb \xor a_{n-1} \alpha^{t-1} && \mid \xor \alpha^t \\
0 &= a_0 \alpha^{t-n} \xor \dotsb \xor a_{n-1} \alpha^{t-1} \xor \alpha^t && \mid \cdot {(\alpha^{t-n})}^{-1} \\
0 &= a_0 \alpha^0 \xor \dotsb \xor a_{n-1} \alpha^{n-1} \xor \alpha^n && \mid X:=\alpha\\
f(X) &= a_0 X^0 \xor \dotsb \xor a_{n-1} X^{n-1} \xor X^n = 0
\end{align*}
Wir suchen also \(X\), sodass dieses Polynom Null wird, sprich die Nullstelle
von dem sogenannten charakteristischen Polynom des LFSRs, \(f\).
Wir werden in fast allen Fällen jedoch kein \(X\in\GF_2\) finden, welches diese
Eigenschaft hat, d.\,h.\@ wir können nicht \(\alpha\in\GF_2\) suchen, sondern in
einem anderen Körper. Stattdessen suchen wir unsere Lösung in dem minimalen,
durch Adjunktion mit \(\alpha\) erhaltenen, Erweiterungskörper
\(\GF_2(\alpha) \supseteq \GF_2 \cap \{\alpha\}\). Um diesen zu finden,
betrachten wir das über eine Nullstelle \(\alpha\) definierte Ideal
\[
I_\alpha := \{ g\in\GF_2[X] \mid g(\alpha) = 0 \}
\]
Da \(I_\alpha\) ein Ideal ist (\(\GF_2[X]\) ist Hauptidealring), existiert ein
eindeutiges, irreduzibles Polynom \(\mu\in\GF_2[X]\), sodass
\[
I_\alpha = \mu \GF_2[X]
\]
Dieses sogenannte Minimalpolynom spannt also -- wie im vorherigen Kapitel -- einen
Körper \(\GF_2[X]/\mu \cdot \GF_2[X]\) über die Restklassen auf. Da nun auch
\(f\in I_\alpha\) teilt \(\mu\mid f\). Ist nun \(f\) irreduzibel, bedeutet das
\(\mu = f\). Tatsächlich ist der durch \(\mu\) bzw.\@ aufgespannte Körper der
von uns gesuchte minimale Erweiterungskörper:
\[
\GF_2(\alpha) = \GF_2[X]/f\cdot\GF_2[X]
\]
%TODO environment
\paragraph{Beispiel}
Gucken wir das an einem Beispiel mit einem LFSR mit Registerlänge \(2\) an
und Rückkopplungskoeffizienten \((a_0,a_1)=(1,1)\):
%TODO grafik
Die Rekursionsgleichung ergibt sich dann als \(k_t=k_{t-1}\xor k_{t-2}\).
Mit einem Schlüssel von \(k_1=1\), \(k_0=0\) erhalten wir den Bitstrom mit
maximaler Periode \(2^2 -1=3\)
\[
k_t = 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, \dotsc
\]
Nehmen wir also an, dass es eine Lösung gibt, sodass \(k_t=\alpha^t\), dann ist
\(\alpha\) Nullstelle des charakteristischen Polynoms \(f(X)=X^2\xor X\xor 1\).
Dieses Polynom ist irreduzibel über \(\GF_2\), damit finden wir die Nullstelle
in \(\GF(\alpha)\). Dieser Körper enthält die Polynome von einem Grad maximal
\(1\), d.\,h.:
\[
\GF_2(\alpha) = \{ 0, 1, X, X\xor 1 \}
\]
Es gelten folgende Äquivalenzen:
\begin{align*}
XX = X^2 = X\xor 1 \mod f \\
X(X\xor 1) = X^2\xor X = 1 \mod f \\
(X\xor 1)(X\xor 1) = X^2\xor 1 = X \mod f
\end{align*}
Somit sind \(\alpha_1:=X\) und \(\alpha_2:=X\xor 1 = X^2\) die Nullstellen von
\(f\), sie erfüllen beide die Rekursionsgleichung. Da die Rekursionsgleichung
linear ist, erfüllt auch für beliebige \(a,b\in\GF_2\) jede Kombination
\(a\alpha_1^t\xor b\alpha_2^t\) die Gleichung.
Nunn möchten wir die Initialwerte \(k_0=0\), \(k_1=1\) berücksichtigen, hierzu
setzen wir ein:
\begin{align*}
0 = k_0 &= a\alpha_1^0 \xor b\alpha_2^0 = a\xor b \\
1 = k_1 &= a\alpha_1^1 \xor b\alpha_2^1
\end{align*}
Wir erhalten damit \(a=b=1\). Da nach Rekursion \(\alpha_2=\alpha_1^2\),
erhalten wir:
\[
k_t = \alpha_1^t \xor \alpha_2^t =
\alpha_1^t \xor ((\alpha_1)^2)^t =
\alpha_1^t \xor ((\alpha_1)^t)^2 =: \Tr(\alpha_1^t)
\]
Wir nennen \(\Tr(\alpha)\) die Spur (Trace) von \(\alpha\). Mit dieser können
wir nun die konkreten Werte der Folge berechnen:
\begin{align*}
k_0 =& \Tr(\alpha_1^0) = \alpha_1^0 \xor (\alpha_1^0)^2 = 1\xor 1^2 = 0 \\
k_1 =& \Tr(\alpha_1^1) = \alpha_1^1 \xor \alpha_1^2 =
\alpha_1 \xor \alpha_1 \xor 1 = 1 \\
k_2 =& \Tr(\alpha_1^2) = (\alpha_1\xor 1)\xor (\alpha_1\xor 1)^2 =
(\alpha_1\xor 1)\xor \alpha_1 = 1 \\
k_3 =& \Tr(\alpha_1^3) = \alpha_1^3\xor (\alpha_1\xor 1)^3 =
1\xor 1 = 0 \\
\vdots\,&
\end{align*}
\paragraph{Algebraische Analyse}
Wir haben nun einen Überblick darüber gewonnen, wie unser Angriff ungefähr
ablaufen wird. Wir möchten uns nun genauere Gedanken über die Periode, die
Spur und die Initialisierungswerte der Chiffre machen.
Wir betrachten LFSRs mit irreduziblen charakteristischen Polynomen \(f\).
\end{document}
......@@ -9,15 +9,14 @@
\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
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